Tecnológico de Monterrey
Matemáticas y Cálculo

Esta secuencia de capítulos de video y texto se realiza con la finalidad de fortalecer una visión amplia de la naturaleza de la matemática. Presenta adaptaciones del conocimiento adquirido por medio de libros ejemplares como lo son:

La matemática: su contenido, métodos y significado - A. D. Aleksandrov, A. N. Kolmogorov, M. A. Laurentiev.

¿Qué son las matemáticas? - Richard Courant, Herbert Robbins.

La información se ha organizado para mostrar un acercamiento al cálculo acorde con la propuesta del rediseño del sector curricular de Matemáticas para Ingeniería del Campus Monterrey.

Dra. Patricia Salinas, Dr. Juan Antonio Alanís.

En esta presentación de cápsulas de video y texto, se mostrará que las Matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua. Una evolución en la cual las interrelaciones con otros conocimientos y la necesidad de resolver problemas prácticos juegan un papel de primer orden.

La noción de cantidad, la de figura y la noción de cambio han sido promotoras del desarrollo de la Matemática y son ejemplos claros de la mutua influencia entre la vida práctica y el pensamiento abstracto. Estas nociones forman parte de nuestro entorno cotidiano, y en sus orígenes, nos permitirán mostrar la utilidad de la Matemática firmemente ligada a la resolución de problemas.

La Matemática surge y se desarrolla en el intento del hombre de resolver problemas... problemas que van siendo cada vez más complejos...cuanto más compleja es la sociedad en la cual aparecen. Por ejemplo, la noción de cantidad, de número entero en su inicio, nos habla de la necesidad del hombre por contar colecciones de objetos concretos.

No fue sino hasta un nivel superior que el número apareció como una propiedad de una colección de objetos sin hacer referencia a su concretez, pero para que eso fuese posible, fue necesario comparar entre sí muchísimas colecciones de objetos concretos y observar aquello que les es común: la cantidad.

De esas comparaciones realizadas una y otra vez surge también la idea de operación aritmética; por ejemplo, la suma. Es experimentalmente como se descubre que la suma no depende del orden de los sumandos, dando lugar a lo que hoy conocemos como las propiedades de las operaciones aritméticas. Estas ideas llevan a reconocer que la Aritmética surge de una larga experiencia práctica, relacionada a las necesidades que impone la vida social de la época

A medida que la sociedad evoluciona, la solución de problemas prácticos exigió aprender a contar colecciones cada vez mayores, como la cantidad de animales en un rebaño, de objetos de trueque o de días anteriores a una fecha fija. Más aún, esta necesidad se amplía a tener que comunicar a otras personas el resultado de las operaciones realizadas

Es así como se construye el concepto de número abstracto, fruto de una intensa actitud de reflexión frente a los problemas que se requiere resolver y de la abstracción necesaria para lograr su simbolización. Contar con el sistema de numeración que hoy nos es tan familiar, no fue una cuestión sencilla.

Otro ejemplo lo provee la noción de figura geométrica, que en su origen está completamente ligada a la naturaleza. Aun cuando nuestros ojos no perciben líneas auténticamente rectas, ni círculos perfectos, es evidente que, si el hombre logró concebir estas figuras abstractas es porque su observación de la naturaleza es netamente activa.

El hombre, para satisfacción de sus necesidades prácticas, debía construir objetos cada vez más regulares en su forma: cortaba piedras, vallaba parcelas de tierra, modelaba ollas de arcilla. Todo edificio construido, desde las antiguas pirámides hasta los más modernos diseños realizados en nuestra época da testimonio de la utilidad de la Geometría.

En general, la medición de cualquier magnitud combina la aplicación (acción de carácter geométrico) de cierta “unidad” de la magnitud y el cálculo (acción de carácter aritmético) de cuántas veces es posible repetir esa operación. Baste pensar en el procedimiento que usamos al medir un líquido en un recipiente graduado, o al pesar un objeto colocándolo en una báscula. Este evento de conjunción de Aritmética y Geometría es una característica del proceso de resolución de problemas que conduce a su vez a avances en la Matemática misma.

Otro ejemplo destacable de interrelación mutua entre ramas de la Matemática se da con el surgimiento de la Geometría Analítica como la admirable conjunción de la Geometría y el Álgebra.

Fue en la segunda mitad del siglo XVII, que la Matemática vio nacer a otra de sus ramas que en los últimos tres siglos ha sido considerada como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales, nos referimos al Cálculo. Entre los problemas que dieron origen al Cálculo encontramos, por una parte, algunos de carácter geométrico presentes desde la misma épica clásica griega.

Nos referimos a la determinación de rectas tangentes a una curva dada y al cálculo de áreas y volúmenes. Por otra parte, encontramos los nuevos problemas que la Mecánica estaba planteando en esa época en relación al estudio del movimiento.

Nadie puede dudar en la actualidad de que el cambio y el movimiento son signos característicos del ambiente que nos rodea: los seres vivos, las poblaciones, los sistemas económicos y políticos, las costumbres, los vehículos, las partículas subatómicas, las estrellas, son tan solo algunas ejemplificaciones del permanente cambio, del constante movimiento.

En 1986, fallas en la planta nuclear de Chernobyl, Ucrania, provocaron la explosión que impide actualmente la vida en ella por la presencia de elementos radioactivos. Se ha estimado que deberán transcurrir aproximadamente cien años antes de que dicha región sea de nuevo habitable. ¿Cómo se hizo esta estimación del tiempo que habrá de transcurrir para que sin riesgo la gente vuelva a habitar la región de Chernobyl?

Ahí está el Cálculo presente, en el sentido de que él responde a la pregunta de predecir cuál va a ser el valor de una magnitud que está cambiando, en este caso, la magnitud es la cantidad de cierto elemento radioactivo

También hemos vivido un importante evento astronómico recientemente. En 1994 se produce el choque entre el cometa Shoemaker-Levy y el planeta Júpiter. Este suceso fue observado y sus efectos sobre la atmósfera de Júpiter pudieron ser ampliamente estudiados. Aquí, la determinación del tiempo en que la distancia entre el cometa y el planeta fuese cero, permitió la realización de este evento sin precedente.

Otros dos ejemplos que remarcan la importancia de la determinación del valor de una magnitud que cambia en el tiempo lo proporcionan: la cantidad de carbono-14 en un fósil y la temperatura de un cadáver humano. La cantidad de carbono-14 en el fósil permite al antropólogo determinar la edad del mismo, por otro lado la temperatura del cadáver humano permite al médico forense determinar la hora en que ocurrió el deceso.

Hemos de decir que los primeros logros que históricamente se dan en el desarrollo del Cálculo fueron en un contexto aún más restringido: en el estudio del movimiento en línea recta... ¿en qué punto de una carretera recta estará un automóvil, digamos dentro de tres horas?...o... ¿cuál es la altura máxima que alcanza una piedra lanzada verticalmente hacia arriba?... preguntas como éstas y muchas más serán el inicio para nuestra Introducción al Cálculo.